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CADRANS SOLAIRES DE TOURAINE ET D'AILLEURS
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CADRAN SOLAIRE A STREPTOGRAMME HOROPHORE
par Michel DEROUET
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Cet article, déjà publié dans les numéros 23 et 24 de la revue Astro-Ciel et dans le numéro 31 d'ATCO (automne 91) est présenté ici dans sa version intégrale, revue et corrigée des différentes suggestions qui ont été faites.

Le déclic fut la lecture d'un article de Jearl WALKER dans "Pour la Science" de février 1981. Celui-ci relatait la mise au point d'un "cadran solaire analemmique" par un Américain, C. SLOAN, à Arapahoe en Caroline du Nord. Après en avoir exposé succintement le principe, Jearl WALKER terminait son article en fournissant un mini programme en BASIC pour calculer la longueur des ombres portées.

Il était intéressant de décortiquer et de comprendre chaque composante des équations. Ô surprise ! ... une des premières, victime d'une malencontreuse coquille était fausse ! Il n'en fallait pas plus pour exciter la curiosité.

Tout d'abord, finissons-en avec la terminologie. A la suite de la première version du présent article publiée dans ASTRO CIEL, sous le titre "CADRAN SOLAIRE ANALEMMATIQUE"., Monsieur Robert SAGOT s'éleva violemment contre cette appellation. Afin d'apaiser ceux que l'évolution de la terminologie cadranique inquiète au plus haut point, j'ai proposé de l'appeler CADRAN A STREPTOGRAMME HOROPHORE.

Si vous vous sentez une âme de latiniste, d'héléniste ou d'étymologiste ... distingué ou non, je vous invite à trouver un nom à ce type de cadran.

RAPPEL DE NOTIONS COSMOGRAPHIQUES

Pour une information plus complète, lire l'article de Gérard OUDENOT dans l'Astronomie d'octobre 1983.

Du fait de la rotation de la Terre sur son axe, l'ensemble du ciel accomplit un tour en 23 heures 56 minutes 4 secondes. C'est le jour sidéral. La Terre se déplace sur son orbite autour du soleil en une année. Ceci a pour conséquence que, pendant qu'elle accomplit un tour sur elle-même, elle a parcouru environ 2,5 millions de kilomètres sur son orbite. Il faut donc qu'elle tourne un peu plus sur elle-même pour revenir en face du soleil. C'est le jour solaire que nous connaissons et qui vaut environ 24 heures.

L'axe de la Terre est incliné de 23° 27' par rapport à la perpendiculaire du plan de son orbite autour du Soleil. Ceci entraîne une hauteur variable du Soleil au cours de l'année et une inégalité des jours et des nuits. La première conséquence de tous ces mouvements est que la longueur de l'ombre portée d'un objet vertical, sur un plan horizontal, varie au cours d'une année. Elle sera maximum au solstice d'hiver et minimum au solstice d'été.

EQUATION DU TEMPS

C'est grâce aux observations très précises de Tycho BRAHE que Johannes KEPLER au début du XVIIème siècle put mettre en évidence les lois qui portent son nom :

- La Terre se déplace sur une ellipse dont le soleil occupe un des foyers.

- Le rayon vecteur Terre-Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

La Terre se déplace donc sur son orbite à une vitesse variable. C'est-à-dire que le jour vrai (intervalle de temps qui sépare deux passages consécutifs du soleil au méridien) varie de 23 h 59 mn 39 s à 24 h 00 mn 30 s. De plus, I'inclinaison de l'écliptique part rapport à l'équateur fait que le déplacement apparent du Soleil est plus rapide aux solstices qu'aux équinoxes. L'addition de ces deux anomalies constitue une écart entre le temps solaire vrai et le temps solaire moyen. Cet écart est l'équation du temps.

On voit sur cette figure, qu'à certaines périodes de l'année, cet écart peut atteindre près de 15 minutes ; il n'est donc pas possible de le négliger. Ceci va nous conduire à introduire une correction pour que, quelles que soient les saisons, I'heure du cadran coïncide avec l'heure moyenne.
Sur le dessin du cadran, cette correction va prendre la forme d'un huit allongé et dissymétrique qui s'appelle la méridienne de temps moyen. Ces courbes en forme de 8 seront intégrées dans le dessin pour chaque heure de la journée.

LONGITUDE

Le midi d'un cadran se lit sur la méridienne de temps moyen se rapportant au midi solaire. Or, pour que le midi moyen corresponde au midi légal, il faut tenir compte du décalage du lieu en longitude par rapport au méridien de référence ... Greenwich en ce qui nous concerne. La méridienne sera donc déportée à l'Est du midi si le lieu d'implantation est à l'Est ... et inversement.

ARCS DIURNES

Le Soleil se déplace dans le ciel en décrivant chaque jour un arc de cercle sur la sphère céleste. L'ombre d'un point va donc décrire un cône au cours de la journée. L'intersection de ce cône et de la surface horizontale du cadran va générer une conique. Sous nos latitudes, ce sera un arc d'hyperbole. Le soleil se déplaçant dans le ciel à une hauteur différente selon les saisons, on pourra donc tracer plusieurs arcs diurnes qui, entre autres, permettront selon la longueur de l'ombre de donner une idée approximative de la date. On tracera:

- Les arcs des deux solstices qui seront les limites Nord et Sud de l'ombre.

- L'arc des équinoxes, confondus en une seule droite car le soleil possède alors la même déclinaison. Il se trouve dans le plan perpendiculaire à l'axe terrestre (déclinaison = zéro) et l'ombre suit une droite.

- Dix à douze autres arcs dont on choisira judicieusement les dates espacées de 10 à 20 jours de façon à obtenir un dessin clair, lisible et esthétique. Chacun de ces arcs comportera deux dates : celles où le soleil a, au cours de l'année, la même déclinaison.

CALCUL ET DESSIN DU CADRAN

Pour faciliter la compréhension du raisonnement et des formules présentées plus loin, il faut savoir que tout a été ramené à la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon ; quelles que soient l'heure et la saison. Le générateur de l'ombre est un style fixe, rectiligne et vertical dont la hauteur variera en fonction de la taille désirée du cadran. Ce que nous appelons style est en fait, gnomoniquement parlant, la sous-stylaire. Avec un style de 50 mm, le dessin s'inscrit dans un rectangle de 60 cm x 35 cm. Il faudra de toutes façons limiter la taille du style car lorsque le soleil est bas sur l'horizon, les ombres deviennent vite démesurées sur le cadran. Les abréviations employées plus loin ne sont pas très orthodoxes ... elles ont été choisies pour leurs propriétés mnémoniques.

COORDONNEES DU LIEU

Sur une carte de l'I.G.N. au 1/25 000, repérer le lieu d'implantation du cadran. Ensuite, à l'aide des échelles de pourtour de carte (référées au méridien international), déterminer avec précision (degrés, minutes et secondes ... ces deux dernières seront transformées en valeur décimale) les coordonnées en latitude et longitude.

CENTRE GNOMONIQUE

Tracer d'abord la ligne de midi. C'est une droite orientée Nord-Sud. Ensuite, sur celle-ci, situer le premier repère qui sera l'emplacement du style. Enfin, déterminer le deuxième repère situé au Sud du style en multipliant la hauteur de celui-ci par la cotangente de la latitude du lieu. On obtient ainsi le centre gnomonique du cadran C'est à partir de ce centre que doivent être tracées les lignes radiales des heures. Ce point ne sert qu'au traçage, il ne figurera donc pas dans le dessin final.

DROITE D'EQUINOXE

Les jours d'équinoxe, le soleil est dans le plan de l'équateur terrestre. Sa hauteur dans le ciel est égale à 90° moins la latitude du lieu. La pointe de l'ombre suit alors une ligne perpendiculaire à la ligne des midis, située au nord du style, à une distance de celui-ci égale à : hauteur du style x tangente de la latitude.

DROITE DES HEURES

Elles se tracent à partir du centre gnomonique et passent par un autre point situé sur la droite d'équinoxe à une certaine distance de la droite de midi. Distance au midi sur la droite d'équinoxe :
Tg H xST/Cos LA


H : heure (13 heures - 15°, 14 heures - 30° etc…)
ST : hauteur du style
LA : latitude

Il est préférable d'en tracer une pour chaque demi-heures (de 6 h 30 à 17 h 30), celles du matin sont symétriques à celles de l'après-midi par rapport à midi. Celles de 6 h et 18 h sont perpendiculaires au midi et passent par le centre gnomonique.
HYPERBOLES DES DATES

Ce sont les arcs diurnes. Il faut sélectionner les dates. Voici, à titre d'exemple, un tableau avec 26 dates (14 arcs diurnes), la déclinaison du soleil et l'équation du temps en degré (1 degré = 4 minutes). Cette dernière servira plus tard pour le calcul des courbes en forme de 8.
En fait, ce choix est laissé à la fantaisie de chacun. On peut privilégier les anniversaires, les fêtes religieuses ou nationales etc ... Pour cela, utiliser les tables du Bureau des Longitudes. Le calcul se fait en deux temps:
- D'abord, calculer la hauteur du soleil au-dessus de l'horizon à chaque demi-heure pour chacune des dates retenues. Pour cela, on passe des coordonnées équatoriales (déclinaison) aux coordonnées horizontales par la formule suivante :

SinHS.SinLA.SinD+CosLA.CosD.CosH


HS : Hauteur du Soleil
LA : Latitude du lieu
D : Déclinaison du soleil
H: Heure en degré (1 heure = 15°)
Attention : Sin zéro = O ; Cos zéro = 1

Pour plus de détails, voir le chapitre "Changement de coordonnées". dans les Ephémérides du Bureau des Longitudes. Faire le calcul pour chaque demi-heure de 12 h à 18 h. Pour le matin, les valeurs sont symétriques.

- Ensuite, calculer la langueur de l'ombre :

LO = ST / Tg HS


LO : longueur de l'ombre
ST : hauteur du style
HS : hauteur du soleil

Reporter les longueurs de l'ombre obtenues pour chaque date sur les droites des demi-heures à l'aide d'un compas centré sur l'emplacement du style. En joignant les points d'une même date, on obtient une portion d'hyperbole ; en hiver, incurvée vers le Nord et en été vers le Sud.

A ce stade, notre cadran permet de lire l'heure solaire. Mais notre but était de lire aussi l'heure légale.


CALCUL ET DESSIN DES COURBES EN FORME DE 8

Nous allons donc introduire et adapter les courbes en 8 à chaque heure du cadran de 7 h à 17 h. Pour l'étape qui va suivre, il est souhaitable d'abandonner la calculette pour avoir recours à un ordinateur disposant d'un logiciel tableur. Pour ceux que les calculs rebuteraient, il est possible d'utiliser la technique du traçage de la méridienne décrite dans "Midi au Soleil". Les calculs ne sont pas plus complexes que les précédents mais seulement un peu plus longs.
Pour ce faire, il faut reprendre les trois opérations qui ont conduit au calcul de la longueur de l'ombre pour les arcs diurnes :
- Nouvel angle horaire. - Hauteur du soleil sur l'horizon. - Longueur de l'ombre à partir du style.

Nous pourrions nous en tenir à cette dernière valeur et la reporter à nouveau à l'aide d'un compas; mais pour les heures proches de midi, le trait de compas serait trop tangent aux arcs diurnes et perdrait beaucoup en précision. Ceci nous amène à calculer d'autres paramètres et à procéder au traçage en deux temps :

- A l'aide du compas centré sur le style, nous tracerons un premier repère sur la ligne de midi. (Voir calcul distance au style)

- A partir de ce repère, nous en tracerons un second (voir calcul distance au midi) qui sera perpendiculaire à la ligne des midis et ira couper l'arc considéré à l'endroit désiré.

La figure suivante permet de comprendre les calculs intermédiaires et la façon de procéder.

NOUVEL ANGLE HORAIRE

Les courbes en 8 seront d'autant plus décalées par rapport aux droites des heures que le lieu d'implantation du cadran est éloigné du méridien de référence. Avant d'introduire l'écart en longitude, il faut d'abord définir la valeur algébrique (+ ou -) à lui accorder selon que l'on est à l'Est ou à l'Ouest du méridien de référence. Nous transformerons partiellement et adapterons à nos besoins la recommandation de l'Union Astronomique Internationale (1982). Lorsque le cadran est situé à l'Est du méridien, I'écart en longitude sera positif et à l'Ouest négatif. Pour un pays autre que la France, prendre comme référence le méridien sur lequel est centré le fuseau horaire.
La valeur de l'équation du temps est à prendre également en valeur algébrique. Cette fois, il n'y a plus symétrie entre les heures du matin et du soir. Il y aura donc deux formules ... et même trois !
07h à 11 h : -H+EL-EQ
13h à 17h : H+EL-EQ
à midi : +EL-EQ

H = heure en degrés
EL = écart en longitude
EQ = équation du temps
Les trois exprimés en degrés (valeur algébrique) Ce nouvel angle horaire s'appelle AH2


HAUTEUR DU SOLEIL DANS LE CIEL

On reprend la formule déjà utilisée pour le calcul des arcs diurnes:
Sin HS = Sin LA . Sin D + Cos LA. Cos D . Cos AH2


LA : latitude
AH2 : nouvel angle horaire
HS : hauteur du soleil
D : déclinaison du soleil

LONGUEUR DE L'OMBRE

Mesurée à partir de la base du style = ST/TgHS

ST : hauteur du style
HS: hauteur du soleil

ANGLE A1

C'est l'angle entre la ligne de midi et la droite qui relie le centre gnomonique à la pointe de l'ombre. Toutes les abréviations sont déjà connues.



ANGLE A2

C'est l'angle entre les droites : centre gnomonique/pointe de l'ombre et style/pointe de l'ombre.



en simplifiant : Sin A2 = Sin A1 x Ctg LA x Tg HS

ANGLE A3

C'est l'angle entre les lignes des midis et la droite qui relie l'emplacement du style à la pointe de l'ombre. Cet angle sera négatif pour tous les points qui seront à l'Ouest de midi.

En simplifiant : A3 = A1 + A2

Maintenant que l'angle A3 et la longueur de l'ombre sont connus, il est facile de déterminer le point recherché. Cette opération se fait en deux temps.

DISTANCE AU STYLE

A partir du style, tracer un repère sur le ligne des midis à une distance égale à Cos A3 x longueur de l'ombre. Cette distance pourra être négative (donc au sud du style) ce sera le cas vers le solstice d'été pour 7 h et 17 h.

DISTANCE AU MIDI

Toujours à l'aide du compas, et à partir du premier repère, reporter sur l'arc diurne considéré une longueur égale à Sin A3 x longueur de l'ombre. Ce repère sera automatiquement perpendiculaire à la ligne des midis. La distance sera positive à l'Est de midi et négative à l'Ouest.

Par ces deux reports successifs, on obtient une détermination précise de ce point. Pour en vérifier l'exactitude, il est possible de reporter la longueur de l'ombre à partir du style ; le trait du compas viendra recouper le point. Certains résultats vous surprendront peut-être, car à certaines heures, la longueur de l'ombre tend vers l'infini et dépasse de beaucoup la taille du cadran.
Lorsque, pour une heure donnée, le calcul a été fait pour toutes les dates retenues, il suffit de joindre toutes les intersections pour obtenir une courbe en forme de huit. Recommencer pour chaque heure, et on observe que les courbes en 8 se déforment de plus en plus à mesure qu'on s'éloigne du midi. L'axe de celles-ci sera décalé par rapport au trait de l'heure solaire qui s'y rapporte,sauf pour un cadran situé sur le méridien de Greenwich.Pour un cadran situé à plus de 4,12 ° à I'Ouest et 3,62 ° à l''Est du méridien de référence,les courbes en 8 seront entièrement à côté de la droite de l'heure solaire.En France,ce sera le cas de la pointe de la Bretagne à l'ouest de Quimper,et des régions situées à l'Est d'une ligne passant par Valenciennes,Auxerre et Montpellier.
Il ne reste plus qu'à dater les arcs diurnes. Le même arc comporte deux dates (hormis les solstices) et la lecture de l'heure juste s'effectue à l'intersection de la courbe en 8 et de la pointe de l'ombre. Il faut donc distribuer les dates conformément à la répartition des mois sur la méridienne de temps moyen :
- Du 1er janvier au 16 avril et du 15 juin au 2 septembre : à l'Ouest
- Du 17 avril au 14 juin et du 3 septembre au 31 décembre : à l'Est

L'heure se lira donc sur la moitié de la courbe en 8 correspondant au côté de la date. Il s'agit en l'occurence de l'heure TU ... à laquelle il faut ajouter mentalement 1 heure en hiver et 2 heures en été pour avoir l'heure légale française. On peut également numéroter les heures en heures d'hiver au Nord et en heures d'été au Sud. Pour plus de clarté, il est possible de ne faire figurer que les courbes en 8 et les heures correspondantes, ou, si le cadran est très grand, de tracer aussi une courbe en 8 pour les demi-heures. Tout ceci est laissé à l'appréciation de chacun.

Quelques exemples sont donnés dans le tableau précédant. Ils ont été calculés pour un style de 50 mm et les coordonnées suivantes :
- Latitude: 47° 28' 01'' (47,47°)
- Ecart au méridien: + 0° 46' 06'' (+ 0,77°)
Ci-contre figure un "brouillon" réalisé sur contreplaqué. Il ne reste plus maintenant qu'à le graver dans un matériau noble et durable ...

BIBLIOGRAPHIE

- Midi au soleil. Jean FULCRAN - Pierre BOURGE
- Pour la Science - Février 1981
- Ephémérides Astronomiques 1986 et 1987. Bureau des Longitudes
- Astronomie. L'encyclopédie Atlas du Ciel n° 113 et 114
-I'Astronomie.Bulletin de la S.A.F.Octobre 1983